Enigma matemático – Resposta
Só relembrando o problema:
Certa manhã o Sr. Black, o Sr. Gray e o Sr. White decidem resolver um conflito truelando com pistolas até que somente um deles fique vivo.
O Sr. Black é o pior atirador, acertando seu alvo, em média, uma vez em cada três tentativas.
O Sr. Gray é um atirador melhor e acerta no alvo em dois de cada três tiros.
Já o Sr. White é um atirador exímio e nunca erra o alvo.
Para tornar o truelo mais justo, o Sr. Black tem a permissão de atirar primeiro, seguido pelo Sr. Gray (se ele ainda estiver vivo) e depois pelo Sr. White (também se ele ainda estiver vivo).
O processo se repete até que só reste um deles.
A pergunta é: Contra quem deve o Sr. Black atirar primeiro?
A probabilidade do Sr. Black acertar é de 1/3 (33,33%)
A probabilidade do Sr. Gray acertar é de 2/3 (66,67%)
A probabilidade do Sr. White acertar é de 1/1 (100%)
A resposta é: Sr. Black deve atirar primeiro para o alto. Vamos calcular a probabilidade dele ficar vivo.
Atirando para o alto vai passar a chance para o Sr. Gray, que vai tentar matar o Sr. White, pois é o adversário mais perigoso. Portanto há dois desfechos possíveis:
– Sr. Gray acerta e o Sr. White morre (2/3 de chance)
– A vez volta para o Sr. Black que atira contra seu adversário, tendo 1/3 de chance de matá-lo.
Logo, a probabilidade de ficar vivo é de 2/3 x 1/3 = 2/9 = 22,2%
– Sr. Gray erra e o Sr. White vive (1/3 de chance)
– O Sr. white mata o Sr. Gray (1/1 de chance)
– A vez volta para o Sr. Black que atira contra seu adversário, tendo 1/3 de chance de matá-lo.
Logo, a probabilidade de ficar vivo é de 1/3 x 1/1 x 1/3 = 1/9 = 11,1%
As probabilidades são multiplicadas, pois os eventos devem ocorrer em conjunto, para que o Sr. Black sobreviva.
Porém, ambas as possibilidades acima podem ocorrer, OU uma OU outra, de forma que a chance total do Sr. Black ficar vivo é de 1/9 + 2/9 = 3/9 = 1/3 = 33,3%. O que é óbvio, pois ele acabou transformando o truelo em um duelo, dado que, se ele errar, um dos outros dois, certamente, morrerá.
Para quem não acreditou em mim e quiser ver que as probabilidades são menores no caso do Sr. Black atirar em alguém, veja abaixo as outras probabilidades:
– Sr. Black atira no Sr. Gray e o mata (1/3 de chance)
– Sr. White atira e erra (0% de chance, pois ele não erra)
Chance de ficar vivo, nessa hipótese: 0%
– Sr. Black atira no Sr. Gray e NÃO o mata (2/3 de chance)
– A partir daí as probabilidades são idênticas às calculadas anteriormente, porém há um evento anterior com 2/3 de chance que deve acontecer. Dessa forma, deveríamos pegar a probabilidade calculada e multiplicar por 2/3, o que implicará em uma probabilidade menor.
– Sr. Black atira no Sr. White e o mata (1/3 de chance)
– Sr. Gray atira no Sr. Black e erra (1/3 de chance)
– Sr. Black atira no Sr. Gray e o mata (1/3 de chance)
Chance dessa hipótese ocorrer: 1/3 x 1/3 x 1/3 = 1/27 = 3,7%
– Sr. Black atira no Sr. White e erra (2/3 de chance)
– A partir daí as probabilidades são idênticas às calculadas anteriormente, porém há um evento anterior com 2/3 de chance que deve acontecer. Dessa forma, deveríamos pegar a probabilidade calculada e multiplicar por 2/3, o que implicará em uma probabilidade menor.
Provado está!
Blog do Portinho 
O Marcello tem razão e o problema fica mais elegante levando em conta a sua observação, pois passa a envolver a soma dos termos de uma P. G. infinita de razão 2/9 (que é a probabilidade de ambos, Black e Gray, errarem, um após o outro). Em verdade, ficando os dois sozinhos, Black tem probabilidade de 3/7 de sobreviver, se for o primeiro a atirar, e de 1/7, se for o segundo.
Adolfo Luiz Braucks Vianna
15/04/2020
Amigo,
Partiu do princípio que o sr. Gray iria atirar sobre o sr. White mas de facto a probabilidade de isso acontecer é 1/2.
Se o sr. Gray optar por atirar sobre o sr. Black primeiro, a probabilidade do sr. Black sobreviver é 1/9
Então a probabilidade final será 1/2 * (1/3 + 1/9) = 2/9
Ou estarei errado?
Abraço!
Não teve em consideração que o sr. Gray poderia preferir tirar sobre o sr. Black
PR
26/07/2014
Prezado, na realidade não estamos, realmente, falando de pessoas. Estamos falando de sistemas lógicas, que não tem vontade própria, apenas seguem o que estariam programados a fazer.
Se alguém tem 100% de chance de acertar e pode atirar primeiro, por exemplo, matará COM CERTEZA, aquele que tem melhor pontaria.
Isso porque não são seres humanos, mas sistemas lógicos.
Se optasse por matar quem atira pior, estaria elevando seu próprio risco de morrer, o que não faz sentido.
Há várias considerações em outros comentários demonstrando o que digo.
Agradeço a visita, espero ter colaborado!
Portinho
15/08/2014
Portinho, a resposta está correta. Apenas no primeiro exemplo (gray acerta e white morre), a chance dele ficar vivo não é de apenas 1/3. Existe a probabilidade dele errar o tiro, mas o gray errar também e ele acertar na segunda tentativa.
Abracos.
Marcello
28/07/2012
Oi Marcello,
Entendo seu comentário, mas estatística é uma linguagem traiçoeira, prega peças mesmo.
Você aumentou o número de eventos (seriam 5 em vez de 3 – black erra, gray acerta, black erra, gray erra, black acerta). Qualquer desdobramento do evento base, trará uma probabilidade menor.
A resposta continuará sendo a mesma, não importa quantos graus de liberdade dermos.
Se fosse possível repetir esses experimentos infinitas vezes, o que aconteceria seria, precisamente, as probabilidades calculadas no problema.
[]
Paulo
Portinho
30/07/2012
Ele não poderia gastar um pouco de willpower para aumentar sua precisão? Ou quem sabe passar umas 3 rodadas se concentrando antes de realizar a ação?
Brincadeira apenas. A sacanagem é a pergunta “Contra quem deve o Sr. Black atirar primeiro?”. Num teste de lógica você não pode enganar o leitor, não existe a alternativa “Não atirar em ninguém”.
Grande abraço amigo!
Bernardo
01/02/2011
Olá!
Eu pensei em atirar para o lado ou para cima. Entretanto, isso foi puro chute sem fundamento matemático.
Parabéns pelo post. Ele está bem fácil de entender.
francival
07/03/2010
Obrigado Francival, pela gentileza da visita ao blog.
Portinho
10/03/2010