Enigma matemático – Resposta

Posted on 26/02/2010. Filed under: Matemática |

Só relembrando o problema:
 
Certa manhã o Sr. Black, o Sr. Gray e o Sr. White decidem resolver um conflito truelando com pistolas até que somente um deles fique vivo.

O Sr. Black é o pior atirador, acertando seu alvo, em média, uma vez em cada três tentativas.

O Sr. Gray é um atirador melhor e acerta no alvo em dois de cada três tiros.

Já o Sr. White é um atirador exímio e nunca erra o alvo.

Para tornar o truelo mais justo, o Sr. Black tem a permissão de atirar primeiro, seguido pelo Sr. Gray (se ele ainda estiver vivo) e depois pelo Sr. White (também se ele ainda estiver vivo).

O processo se repete até que só reste um deles.

A pergunta é: Contra quem deve o Sr. Black atirar primeiro?

 
A probabilidade do Sr. Black acertar é de 1/3 (33,33%)
A probabilidade do Sr. Gray acertar é de 2/3 (66,67%)
A probabilidade do Sr. White acertar é de 1/1 (100%)
 
A resposta é: Sr. Black deve atirar primeiro para o alto. Vamos calcular a probabilidade dele ficar vivo.
 
Atirando para o alto vai passar a chance para o Sr. Gray, que vai tentar matar o Sr. White, pois é o adversário mais perigoso. Portanto há dois desfechos possíveis:
 
– Sr. Gray acerta e o Sr. White morre (2/3 de chance)
– A vez volta para o Sr. Black que atira contra seu adversário, tendo 1/3 de chance de matá-lo.
Logo, a probabilidade de ficar vivo é de 2/3 x 1/3 = 2/9 = 22,2%
 
– Sr. Gray erra e o Sr. White vive (1/3 de chance)
– O Sr. white mata o Sr. Gray (1/1 de chance)
– A vez volta para o Sr. Black que atira contra seu adversário, tendo 1/3 de chance de matá-lo.
Logo, a probabilidade de ficar vivo é de 1/3 x 1/1 x 1/3 = 1/9 = 11,1%
 
As probabilidades são multiplicadas, pois os eventos devem ocorrer em conjunto, para que o Sr. Black sobreviva.
Porém, ambas as possibilidades acima podem ocorrer, OU uma OU outra, de forma que a chance total do Sr. Black ficar vivo é de 1/9 + 2/9 = 3/9 = 1/3 = 33,3%. O que é óbvio, pois ele acabou transformando o truelo em um duelo, dado que, se ele errar, um dos outros dois, certamente, morrerá.
 
Para quem não acreditou em mim e quiser ver que as probabilidades são menores no caso do Sr. Black atirar em alguém, veja abaixo as outras probabilidades:
 
– Sr. Black atira no Sr. Gray e o mata (1/3 de chance)
– Sr. White atira e erra (0% de chance, pois ele não erra)
Chance de ficar vivo, nessa hipótese: 0%
 

– Sr. Black atira no Sr. Gray e NÃO o mata (2/3 de chance)
– A partir daí as probabilidades são idênticas às calculadas anteriormente, porém há um evento anterior com 2/3 de chance que deve acontecer. Dessa forma, deveríamos pegar a probabilidade calculada e multiplicar por 2/3, o que implicará em uma probabilidade menor.
 
– Sr. Black atira no Sr. White e o mata (1/3 de chance)
– Sr. Gray atira no Sr. Black e erra (1/3 de chance)
– Sr. Black atira no Sr. Gray e o mata (1/3 de chance)
Chance dessa hipótese ocorrer: 1/3 x 1/3 x 1/3 = 1/27 = 3,7%
 

– Sr. Black atira no Sr. White e erra (2/3 de chance)
– A partir daí as probabilidades são idênticas às calculadas anteriormente, porém há um evento anterior com 2/3 de chance que deve acontecer. Dessa forma, deveríamos pegar a probabilidade calculada e multiplicar por 2/3, o que implicará em uma probabilidade menor.

 
Provado está!
Anúncios

Make a Comment

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s

7 Respostas to “Enigma matemático – Resposta”

RSS Feed for Blog do Portinho Comments RSS Feed

Amigo,

Partiu do princípio que o sr. Gray iria atirar sobre o sr. White mas de facto a probabilidade de isso acontecer é 1/2.

Se o sr. Gray optar por atirar sobre o sr. Black primeiro, a probabilidade do sr. Black sobreviver é 1/9

Então a probabilidade final será 1/2 * (1/3 + 1/9) = 2/9

Ou estarei errado?

Abraço!

Não teve em consideração que o sr. Gray poderia preferir tirar sobre o sr. Black

Prezado, na realidade não estamos, realmente, falando de pessoas. Estamos falando de sistemas lógicas, que não tem vontade própria, apenas seguem o que estariam programados a fazer.
Se alguém tem 100% de chance de acertar e pode atirar primeiro, por exemplo, matará COM CERTEZA, aquele que tem melhor pontaria.
Isso porque não são seres humanos, mas sistemas lógicos.
Se optasse por matar quem atira pior, estaria elevando seu próprio risco de morrer, o que não faz sentido.
Há várias considerações em outros comentários demonstrando o que digo.
Agradeço a visita, espero ter colaborado!

Portinho, a resposta está correta. Apenas no primeiro exemplo (gray acerta e white morre), a chance dele ficar vivo não é de apenas 1/3. Existe a probabilidade dele errar o tiro, mas o gray errar também e ele acertar na segunda tentativa.
Abracos.

Oi Marcello,
Entendo seu comentário, mas estatística é uma linguagem traiçoeira, prega peças mesmo.
Você aumentou o número de eventos (seriam 5 em vez de 3 – black erra, gray acerta, black erra, gray erra, black acerta). Qualquer desdobramento do evento base, trará uma probabilidade menor.
A resposta continuará sendo a mesma, não importa quantos graus de liberdade dermos.
Se fosse possível repetir esses experimentos infinitas vezes, o que aconteceria seria, precisamente, as probabilidades calculadas no problema.
[]
Paulo

Ele não poderia gastar um pouco de willpower para aumentar sua precisão? Ou quem sabe passar umas 3 rodadas se concentrando antes de realizar a ação?
Brincadeira apenas. A sacanagem é a pergunta “Contra quem deve o Sr. Black atirar primeiro?”. Num teste de lógica você não pode enganar o leitor, não existe a alternativa “Não atirar em ninguém”.
Grande abraço amigo!

Olá!
Eu pensei em atirar para o lado ou para cima. Entretanto, isso foi puro chute sem fundamento matemático.
Parabéns pelo post. Ele está bem fácil de entender.

Obrigado Francival, pela gentileza da visita ao blog.


Where's The Comment Form?

  • Disclaimer

    Este blog é um ambiente privado para expor opiniões, estudos, reflexões e comentários sobre assuntos ligados a finanças, bolsa de valores, economia, política, música, humor e outros temas.

    Seus objetivos são educacionais ou recreativos, não configurando sob nenhuma hipótese recomendação de investimento.

    O investidor consciente deve tomar decisões com base em suas próprias crenças e premissas. Tudo que lê ou ouve pode ser levado em consideração, mas a decisão de investimento é sempre pessoal. Tanto na escolha de ações para carteira própria, quanto na escolha de gestores profissionais para terceirização da gestão.

    O Autor espera que os temas educacionais do blog possam ajudar no desenvolvimento e no entendimento das nuances do mercado de ações, mas reitera que a responsabilidade pela decisão de investimento é sempre do próprio investidor.

    Sejam bem vindos!

  • Paulo Portinho

    PAULO PORTINHO, engenheiro com mestrado em administração de empresas pela PUC-Rio, é autor do Manual Técnico sobre o Método INI de Investimento em Ações, do livro "O Mercado de Ações em 25 Episódios" e do livro "Quanto Custa Ficar Rico?", os dois últimos pela editora Campus Elsevier.

    Paulo atuou como professor na Pós-graduação de Gestão Social da Universidade Castelo Branco e na Pós-graduação oferecida pela ANBIMA de Capacitação para o Mercado Financeiro.

    Atuou como professor da área de finanças e marketing na Universidade Castelo Branco e no curso de formação de agentes autônomos do SINDICOR.

    Como executivo do Instituto Nacional de Investidores - INI (www.ini.org.br) entre 2003 e 2012, ministrou mais de 500 palestras e cursos sobre o mercado de ações, sendo responsável pelo desenvolvimento do curso sobre o Método INI de Investimento em Ações, conteúdo que havia chegado a mais de 15.000 investidores em todo o país, até o ano de 2012.

    Representou o INI nas reuniões conjuntas de conselho da Federação Mundial de Investidores (www.wfic.org) e da Euroshareholders (www.euroshareholders.org), organizações que congregam quase 1 milhão de investidores em 22 países.

    Atuou como articulista do Informativo do INI, do Blog do INI, da revista Razão de Investir, da revista Investmais, do Jornal Corporativo e do site acionista.com.br. Foi fonte regular para assuntos de educação financeira de veículos como Conta Corrente (Globo News), Infomoney, Programa Sem Censura, Folha de São Paulo, Jornal O Globo, entre outros.

Liked it here?
Why not try sites on the blogroll...

%d blogueiros gostam disto: