Enigma matemático – A Porta dos Desesperados

Posted on 08/12/2011. Filed under: Matemática |

De volta à matemática… ou melhor, à didática.

Resolvi escrever sobre o enigma matemático/estatístico da “Porta dos Desesperados” por considerar insatisfatórias as explicações que encontrei na internet.

Há um sem número de sites que apresentam o dilema contra-intuitivo, alguns até o provam empiricamente, mas as pessoas comuns, sem ferramental matemático, continuam sem entender por que a resposta é SIM!!!!!

Vamos ao problema!

Imagine-se em um programa de auditório em que 3 portas são colocadas à sua frente. Atrás de uma delas há um prêmio milionário e atrás das outras duas não há nada.

O apresentador pede que você escolha uma das 3 portas. Após sua escolha, o apresentador vai até uma das duas portas restantes e a abre, mostrando que está vazia. Daí ele faz a pergunta:

– VOCÊ QUER TROCAR DE PORTA, OU PREFERE MANTER A PORTA QUE ESCOLHEU?

A maioria das pessoas. Maioria MESMO, tipo 99%, responde que tanto faz. Pois há 2 portas restantes e em apenas uma há o prêmio. Para a maioria das pessoas a probabilidade é de 50%-50%.

Mas a matemática e a teoria das probabilidaes indica que você deve responder SIM, EU QUERO TROCAR. Isso lhe daria uma probabilidade 2 vezes maior de ganhar o prêmio. Estranho, não?

Para quem não acredita, pode fazer o teste empírico (na prática) AQUI.

Sou um pobre mortal. E pobres mortais abrem o “espaço amostral”.

Sempre gostei de probabilidade, apesar de saber que é uma das áreas mais difíceis para matemática pura. Porém, desde sempre, soube que gente normal precisa encarar probabilidade com humildade. Quase tudo é contra-intuitivo.

Humildade nesse caso é abrir o espaço amostral, ou seja, identificar o conjunto de todos os resultados possíveis de um evento. Só depois calcular a probabilidade.

Feito isso, o problema fica bem fácil e qualquer um pode entender.

Espaço amostral

 

 

 

 

 

 

Antes de fazer o cálculo, veja que só abri o espaço amostral para escolha da porta 1. É que as portas, em princípio, são idênticas. Se fizer mais 3 espaços amostrais o resultado será o mesmo. Basta o que está acima.

Veja que o EVENTO não é “escolher uma porta” apenas. São 2 eventos: “escolher uma porta” e “trocar”

O que se percebe pelos resultados acima é que ele ganha 2 vezes e perde uma toda vez que troca de porta.

Isso significa que, mesmo antes de o experimento se iniciar, já se sabe que, ao escolher TROCAR, sua probabilidade de ganho é de 2 para 1. São 66,7% de chance de ganhar e 33,3% de chance de perder.

That´s All folks.

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47 Respostas to “Enigma matemático – A Porta dos Desesperados”

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A quem interessar:
Codigo em C que “Simula o Problemade Monty-Hall”:

Visto de outra forma, seria o mesmo que se a proposta fosse feita antes de se mostrar que o prêmio não está em uma das outras duas portas: vc quer deixar de apostar nessa porta e passar a apostar nas outras 2? Ou, em outras palavras, quer deixar de concorrer com uma única porta e passar a concorrer com as outras 2?

Mostrar que não há o prêmio em uma das outras duas portas só confunde. No final das contas, a troca é de um para dois.

Nada a ver. É 50% cada uma. Nao compliquem mais a matematica.

Respeito sua visão, mas se quiser entender o problema, recomendo procurar nos comentários do blog. Muita gente não acredita, mas, queiramos ou não, é 1/3 e 2/3, não é 50%.
Pode procurar também o “Paradoxo de Monty Hall” no google. Há demonstrações empíricas que não deixam qualquer dívida das probabilidades.

Parabéns! Ouvi falar do problema na escola e não fiquei convencido com a resposta… Hoje lembrei-me disso e resolvi procurar na internet, e não encontrei nenhuma explicação satisfatória… Aliás, li o post e mesmo assim não fiquei convencido, só no fim de ler todos os comentários (com perpetivas muito próximas da minha) é que me apercebi onde o meu raciocínio estava a falhar. Cheguei mesmo a fazer vários esquemas no papel e continuava a chegar ao resultado errado: 50-50.
Parabéns, pelos 10 anos de blog, e pela paciência que tem com os comentários mais descabidos… Acredite, mesmo eu, se fizesse este comentário há 30minutos atrás seria para insultar a sua inteligência.
Voltando ao tema, este é um problema realmente difícil de explicar, por isso nem vou tentar faze-lo, mas deixo uma dica para quem ainda pensa que a resposta certa é 50-50:
Acha que o segundo evento não tem nada a haver com o primeiro e como o apresentador abre uma porta vazia e restam apenas duas portas, então ha 50% de chance de ganhar, mas se pensar melhor, o segundo evento está relacionado com o primeiro pois o apresentador não abre a porta ao acaso, segue duas regras (não pode abrir a porta escolhida pelo concorrente e não pode abrir a porta com o prémio), desta forma faz com que, caso o concorrente não acerte à primeira e resolva mudar de porta ganha sempre. Como o concorrente só tem 33% de hipótese de acertar à primeira, leva a que, caso o concorrente mude SEMPRE a resposta tenha uma probabilidade de 2/3 de ganhar.

É difícil fazer entender acho q a dica é mesmo concentrar-se nas portas que restam para o apresentador abrir, pois isso é que engana a nossa mente.
!!!

Esse paradoxo é mesmo complexo. Até prêmios Nobel duvidaram e continuaram duvidando do resultado. Mas empiricamente é fatal, dá mesmo 2/3.

Olá Sr. Portinho
Sobre o problema de Monty Hall, por favor desconsidere o que eu escrevi nos e-mails anteriores, por mais absurdo que pareça, os caras estão certos.
O indivíduo, se quiser o prêmio (no caso, o carro) realmente tem 66% de chance de acertar SE TROCAR.
Mas se você não quiser o prêmio (inventei uma versão na Roma antiga, aonde um cristão tem que escolher entre 3 portas, duas portas com nada e 1 com um tigre faminto) nesta situação, o cristão tem 66% de chance de viver se NÃO TROCAR de porta.
Não satisfeito, inventei uma outra versão, ainda na Roma antiga (acho que eu era o imperador naquela época), que atrás de uma das portas poderia ter um tigre (morte na certa) ou uma biga, o que significava a liberdade do cristão. O cristão não tinha como saber se iria ser biga ou tigre. Só iria saber o que estaria atrás da porta quando abrisse. Neste caso a escolha de trocar de porta ou permanecer na mesma, tanto faz. Trocar ou não trocar, não influencia no resultado (50%-50%).
Não parei de pensar até me convencer e descobri que a explicação matemática é bem simples.
Acabei me convencendo só depois que simulei as hipóteses que criei.
Muito obrigado pela sua atenção, cordialidade e respeito ao responder meus e-mails e se não fosse a sua insistência, não teria me convencido.
1 abraço
Dr. Heliandro

Olá Dr. Heliandro,
Eu é que agradeço a visita. É um problema bem interessante mesmo!
Abraço,
Paulo Portinho

OK, o senhor venceu !
O problema é muito mais complexo do que eu pensava.
Mas, vamos supor que tivesse havido uma versão parecida na Roma antiga. Um cristão, no meio do Coliseu, tendo de escolher entre 3 portas. Duas portas com nada atrás e uma porta com um tigre faminto, que não exitaria em atacar.
É interessante notar que o cristão que decidir NÃO trocar irá ter 66% de chances de viver. Não é estranho que agora a decisão de NÃO trocar pareça a mais correta?
O simples fato de trocar de carro para tigre alterou a matemática?
Ou não seria melhor dizer que já que são três portas a chance de pegar o carro e o tigre sempre será de 33%?
Att Dr. Heliandro

Peço só um minuto de vossa atenção:
O exemplo mostrado acima (Espaço Amostral) possui uma grande falha, pois não leva em consideração que o apresentador pode abrir 2 portas em vez de uma quando a pessoa escolhe a porta aonde está o prêmio.
Portanto não existem só 6 possibilidades de eventos (como aparece no quadro), e sim 8 possibilidades.

As 8 possibilidades, vistas de maneira correta, são:

Escolhe porta 1 prêmio está na porta 1 o apresentador abre a porta 2 você troca = Perde
Escolhe porta 1 prêmio está na porta 1 o apresentador abre a porta 2 você não troca = Ganha

Escolhe porta 1 prêmio está na porta 1 o apresentador abre a porta 3 você troca = Perde
Escolhe porta 1 prêmio está na porta 1 o apresentador abre a porta 3 você não troca = Ganha

Escolhe porta 1 prêmio está na porta 2 o apresentador abre a porta 3 você troca = Ganha
Escolhe porta 1 prêmio está na porta 2 o apresentador abre a porta 3 você não troca = Perde

Escolhe porta 1 prêmio está na porta 3 o apresentador abre a porta 2 você troca = Ganha
Escolhe porta 1 prêmio está na porta 3 o apresentador abre a porta 2 você não troca = Perde

Trocando ou não trocando o percentual é de 50% de acerto. O que é incontestável.
Os vídeos que mostram o contrário mostram apenas 6 possibilidades, e não as verdadeiras 8 possibilidades. Os demais vídeos que mostram na prática são muito parecidos com os vídeos aonde aparece um sujeito com uma bola de basquete acertando a cesta a uns 45 metros de distância. Fantástico, mas aonde estão os vídeos que mostram ele errando?
Se achar conveniente pode me mandar o e-mail de resposta padrão, aquele que cita os vídeos e tudo mais, não me sentirei ofendido.
Darei o assunto por encerrado, pois o livre arbítrio é direito de cada um.
1 abraço
Dr. Heliandro Abreu Rosa

Caro Dr. Heliandro,
Há temas em meu blog que são de opinião, mas não é o caso desse post. A resposta correta é a apresentada, seu espaço amostral “dobra” um evento (escolher a porta com prêmio). Parece haver 4 possibilidades, mas só há dois, pois as portas são idênticas.
Conforme já disse, é algo demonstrável tanto analiticamente quanto empiricamente, ou seja, não há qualquer dúvida de que a chance de acertar, trocando, é de 66%.
Recomendo a leitura dos quase 40 comentários ao post. Verá que, além dos vídeos, há softwares aleatórios em que se pode “testar” a premissa. Você mesmo poderá testar, criando uns 20 eventos aleatórios (peça alguém para montar 20 jogos com 3 copinhos e uma bolinha embaixo de um deles. Verá que seu acerto, se trocar sempre, será de aproximadamente 66%.
Mas a leitura dos comentários já deverá ser suficiente para convencê-lo. Há dúvidas semelhantes à vossa.
Lembre-se, é um evento que confunde até ganhadores de prêmio Nobel. Mas não há como escapar do teste empírico.

Seguindo teu raciocínio, se por acaso, no programa de televisão houvesse 10 portas em vez de 3 e a cada vez que o apresentador abrisse 1 porta sem o prêmio e você todas a vezes decidisse mudar a porta que você escolheu, quando chegasse nas últimas 2 potts e você decidisse mudar fr novo as chaves de ganhar passariam de 100% !! Meu caro na matemática não há intuição. Não importa quantas portas foram aberta e que não possuíam o prêmio, quando chegar nas ultimas 2 portas, não importa quantas vezes você trocou de escolha nas oportunidades que antecederam, quando chegar em 2 portas você só tem 50% de chance de acertar ! A não ser que a matemática leve em conta cálculos anteriores. Se você jogar uma moeda para cima 99 vezes e der 99 vezes “cara”, na centésima vez existe mais chance de dar “coroa” ? NÃO! Não importa os eventos anteriores, a chance será de 50%, como no caso das portas!

Caro Heliandro, há vários comentários semelhantes no post, abordando justamente esse assunto. (In)Felizmente não é uma questão de opinião, pois esse problema tem tanto solução analítica (teórica), quanto comprovação empírica (prática). Se você fizer a experiência várias vezes, verá que a distribuição de probabilidades será sempre 2/3 (troca) e 1/3 (não troca).
Não há espaço para dúvida, uma vez que acontece na prática. Se a explicação teórica não convence, com certeza a evidência empírica o fará.
Coloquei alguns links nos comentários.
Grato pela visita,
Paulo Portinho

Completamente errado, não adianta usar matemática, se não sabe olhar o problema. É 50% porque é uma segunda escolha, mesmo que você escolha a mesma, é uma escolha. Matemática sem lógica é ponte desabando ….

Ao contrário Danilo. A lógica é que não existe sem a matemática. Todo o sistema lógico, sem ambiguidade, foi criado com base em abstrações matemáticas. A solução apresentada é corroborada tanto pela técnica quanto pela experiência. Ou seja, se fizer a experiência ela vai dar exatamente o que está previsto. Pode fazer aleatoriamente na internet ou até ver vídeos no You tube. O post é correto.
Se utilizássemos a probabilidade de 50%, a ponte cairia com certeza, pois ela não iria ser verificar na prática.

kkkkkk

Brincadeira feita no filme no filme quebrando a banca. Realmente, as pessoas acham que quando uma porta é retirada temos 50% de acertar, o que nao é correto. Afinal, temos 33,33% de em cada porta, e quando uma é aberta, temos 66,66% restantes para acertar, ou seja, nossa chance aumenta.

Três candidatos a Presidente da República disputam eleições em dois turnos. Disputadíssima, todos os três tem 1/3 de chances mas apenas dois irão para o segundo turno. Nosso Senhor é o único que garante que pelo menos um deles seria íntegro e não corrupto. Nosso eleitor escolheu aquele que acreditava ser íntegro porque os demais eram considerados corruptos. Mas o primeiro turno foi disputado com muitas notícias reveladoras que acabaram por eliminar um dos candidatos, felizmente não era o nosso candidato supostamente íntegro. Não havia garantia de que o outro candidato remanescente também não fosse corrupto. Não havia também garantias de que qualquer um deles fosse íntegro. Mas a escolha estava feita pelo nosso eleitor. Deveria ele então trocar de candidato no segundo turno? Aumentaríamos nossas probabiidades de sucesso? É uma pena que nem assim conseguiríamos eleger gente boa nesse país. Nem com ajuda deste paradoxo!

Bom fds a todos

Muito interessante. Pode ser colocado dessa forma para ficar mais intuitivo: quando o apresentador oferece a possibilidade de trocar de porta, tenho 33,3% de chance de me dar mal (os 33,3%, ou 1/3 de chance, que eu tenho, de ter escolhido a porta correta e abrir mão dela!). E, evidentemente, 66,7%, ou 2/3 (o dobro!) de chance de me dar bem, afinal, eu posso só duas “coisas”: me dar bem (P1) ou me dar mal (P2) nessa estória (P2=100%-P1) …

Excelente Portinho !

Meu entendimento foi facilitado quando eu troquei a cor da linha na tabela em relação aos resultados.

Se usares, por exemplo, vermelho para não trocar e azul para trocar ao invés de usar as cores para ganhou ou não ganhou como vc fez, o próprio resultado visual já vai evidenciar a proporção com o dobro de resultados favoráveis para trocar ( 2:1) e a metade ( 1:2) para quem não trocou.

Obrigado

Na primeira vez que fiz o teste, deu a mesma coisa trocando de porta ou não, mas nos sucessivos testes o acerto foi maior na hora da troca, não me contentando e desconfiando do site de teste, fiz com copos e um objeto, e a maior probabilidade de acerto foi para a troca, reconhecendo minha ignorância e sendo obrigado a aceitar a teoria como verdadeira, pois na prática foi inegável a sua veracidade, como tudo que tomo como verdadeiro que foi posto em prática e provado sua aplicabilidade, mesmo não entendendo o fundamento da teoria, parabéns pela exposição da teoria.

Obrigado e parabéns pela curiosidade científica. Deve ter dado um trabalhão fazer o teste com copos.

Antes de mais nada peço desculpas se minha mensagem anterior de alguma forma pareceu ofensiva ou desrespeitosa.

Sempre que na linguagem escrita misturo humor com argumentação forte de alguma forma o resultado a que chego, involuntariamente gostaria de enfatizar, é o de um texto que tanto pode ser tido como agressivo como uma conversa informal com um amigo. A segunda opção era a por mim desejada. Caso tenha interpretado da primeira forma, peço relevar minha falha.

Quanto ao conteúdo do blog, você é quem manda por aqui. Não fico de modo algum decepcionado com a abordagem de outros temas, tanto que no momento estou aqui gastando meus neurônios para tentar entender um problema matemático além de minha limitada capacidade de compreensão. Disse apenas que minha preferência é por investimento em ações. Como é você quem abnegadamente dedica um tempo precioso de sua vida para escolher temas do interesse dos seus leitores, não tenho pretensão alguma de interferir nesta escolha, mas tão somente expor qual o assunto de maior interesse de um dos seus muitos seguidores.

Voltando ao paradoxo, após ler com mais atenção o trecho da wikipedia que aponta um resultado de 50%, notei que, realmente, como aponta, trata-se de hipótese diversa da abertura da porta após a escolha do espectador. Portanto, o artigo NÃO corrobora minhas alegações.

Continuo sem compreender qual a falha da minha argumentação, mas agora voltei a me convencer que o problema sou eu, que não tenho conhecimentos para entender o problema.

Ao que tudo indica, você é quem demonstrou que 2+2 sempre são 4 e eu que não consigo chegar a outra resposta além de 5.

Pelo menos a ordem natural das coisas foi restabelecida, pois o engenheiro é que estava certo quanto aos números e o advogado é que estava argumentando vigorosamente sobre o que não sabia (e continua não sabendo).

Tentei antes fazer o teste no link indicado em seu post original mas ele não abriu em meu computador, vou tentar outro dia, de outro computador para ver se pelo menos empiricamente me convenço do resultado.

Até lá, vou apenas treinar mentalmente para aceitar a idéia de que, se for escolhido para participar de um programa destes, tenho que trocar de porta mesmo sem saber porque.

Abraço e obrigado pela paciência em tentar me ajudar com a questão.

Oi R. St.,
Não fiquei ofendido, só um pouco frustrado por não conseguir explicar o problema a contento.
A sua suposição é muito perspicaz e de difícil refutação. Ela não está errada, só que a irrelevância do número da porta é uma prova matemática complicada. Só consegui tentar explicar por outro caminho, lembrando que os eventos de importância são “escolher” e “trocar”. E o yield (resultado) que interessa é ganhar ou não ganhar, sob esse ponto de vista a escolha da porta errada 2 ou 3 dá o mesmo yield.
Nós temos leitores brilhantes por aqui. Agradeceria se alguém pudesse oferecer uma explicação mais clara do que a minha para mostrar onde está a falha da sua sugestão.
Abraço e obrigado pela visita!

Portinho, parabéns pelos seus esforços em tentar me fazer compreender este enigma.

Infelizmente, minha cabeça é tão dura, que, mesmo com a apresentação do que seriam todas as possibilidades de resultado, continuei sem me convencer do acerto estatístico do paradoxo.

Definiu bem a questão: é um problema contraintuitivo e que nos ensina a ter mais humildade para aceitarmos como correto o que nossa lógica mental diz estar errado.

Imagino que este problema já tenha sido estudado por muita gente bem mais inteligente e com conhecimentos muito mais aprofundados do que disponho a partir de minha precária memória da matemática básica de segundo grau. Obviamente, se o resultado fosse falso, gente mais gabaritada já teria desmascarado o paradoxo.

Ainda assim, até para tentar confirmar que nada sei, pergunto: as possibilidades de resultado não deveriam ser oito ao invés de seis?

Após estudar o seu quadro, resolvi pensar um pouco mais sobre o assunto.
Abaixo reproduzo o meu próprio quadro com os resultados que consigo imaginar para o problema. (como não consegui manter a formatação da tabela, esclareço que ele é quase igual ao seu, com a diferença de que, quando o prêmio está na porta 1, cheguei à conclusão de que existem quatro resultados possíveis, e não apenas 2).
Neste caso, a possiblidade de acerto seria de 50% desde o início.

Aproveitando-me de seus conhecimentos matemáticos pergunto, qual o furo do meu raciocínio?

opções porta 1 porta 2 porta 3 ganha
Escolhe 1, apresentador abre porta 2 e não troca prêmio nada nada sim
Escolhe 1, apresentador abre porta 2 e troca prêmio nada nada não
Escolhe 1, apresentador abre porta 3 e não troca prêmio nada nada sim
Escolhe 1, apresentador abre porta 3 e troca prêmio nada nada não
Escolhe 1, apresentador abre porta 3 e não troca nada prêmio nada não
Escolhe 1, apresentador abre porta 3 e troca nada prêmio nada sim
Escolhe 1, apresentador abre porta 2 e não troca nada nada prêmio não
Escolhe 1, apresentador abre porta 2 e troca nada nada prêmio sim

Abraço
R. St.

Caro R. St.
Não consegui entender bem a formatação que você enviou, mas acredito você achou o dobro de opções por considerar que o apresentador abra as portas aleatoriamente.
Foi como disse para outro leitor. Se o apresentador abrisse as portas aleatoriamente a probabilidade seria 50% – 50%. Mas ele abre obrigatoriamente a porta que não tem prêmio, por isso a probabilidade aumenta para 2/3.
Se não for isso, peço que explique as opções que abriu, pois não consegui entender.
Abraço,
Portinho

Realmente a formatação dificultou a compreensão do meu ponto de vista.

Antes de explicar quais as oito hipóteses de resultado por mim aventadas, gostaria apenas de apontar que no site da Wikipédia em inglês existe uma longa exposição do problema e as diversas probabilidades de acerto de acordo os diferentes comportamentos do apresentador. (vide o tópico “Other host behaviors” na página
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem )

Especificamente para a hipótese de o apresentador forçosamente abrir uma porta errada após a primeira escolha, na página da Wikipédia, a conclusão é a mesma a que cheguei: de que a probabilidade de acerto inicial é de 50% e permanece de 50% após a primeira porta necessariamente vazia ser aberta.

Feita esta breve digressão, deixe-me apontar porque são oito (na realidade, vinte e quatro, se considerarmos as três possíveis escolhas iniciais) as diferentes possibilidades de resultado ao invés de apenas seis (ou dezoito):

Supondo-se que a porta 1 seja a escolhida:

1) se o prêmio estiver nela, o apresentador tem duas portas para abrir e não apenas uma (aqui é que está a pegadinha).

Por isso, as possibilidades são:

a) Candidato escolhe porta 1, apresentador abre porta dois, candidato troca;
b) Candidato escolhe porta 1, apresentador abre porta dois, candidato não troca;
c) Candidato escolhe porta 1, apresentador abre porta três, candidato troca;
d) Candidato escolhe porta 1, apresentador abre porta três, candidato não troca;

2) se o prêmio estiver na porta dois, e o candidato ter escolhido a porta 1, o apresentador necessariamente tem de abrir a porta 3 para o jogo não acabar antes da troca ser oferecida.

Assim, as possibilidades são:

e) Candidato escolhe porta 1, apresentador abre porta três, candidato troca;
f) Candidato escolhe porta 1, apresentador abre porta três, candidato não troca;

3) do mesmo modo, se o prêmio estiver na porta três, o apresentador terá necessariamente de abrir a porta 2 para o jogo não acabar antes da troca ser oferecida.

As possibilidades restantes são:

e) Candidato escolhe porta 1, apresentador abre porta dois, candidato troca;
f) Candidato escolhe porta 1, apresentador abre porta dois, candidato não troca;

Como vê, os possíveis resultados são oito e não seis.
E inicialmente, temos que, das oito soluções, quatro chegam a um resultado vencedor, possibilidade de 50%.

Após a primeira porta ser aberta, a probabilidade de acerto continua de 50%, independentemente de haver ou não a troca.

Moral da história: nesse caso a estatística corrobora o senso comum.

Ou como aprendi com Bjorn Lomborg (o estatístico que redigiu “o ambientalista cético”) 1) “existem as mentiras, as mentiras deslavadas e então as estatísticas”.

Agora, o mais curioso de todo esta história foi que: um engenheiro (você) usou de argumentos poderosos para tentar convencer um advogado (eu) de que 2+2 são 5 e, no final, eu, advogado, ignorante de matemática, tive de explicar que, apesar de o discurso do engenheiro ter sido tão bem construído a ponto d convencer por uns dias, 2+2 continuam sendo 4 (ainda bem).🙂

Abraços e prossiga com este ótimo Blog (se possível, mantendo o foco em investimentos em ações, que, afinal de contas, foi o que me trouxe até aqui)

Caro R.St.,
Antes de tentar, humildemente, mostrar o gap lógico em sua premissa, quero ressaltar que o Blog, conforme descrito em seu disclaimer, trata de assuntos que vão desde bolsa de valores até música, passando por matemática e política. Tenho tido pouco tempo para escrever e escrevo prioritariamente sobre bolsa, mas o blog continuará trazendo outros temas pelos quais nutro interesse. Lamento desapontá-lo, nesse aspecto.
Quanto às suas colocações, antecipo que não é minha missão convencê-lo de que estou certo, menos ainda de utilizar estatística para provar que 2+2=5.
Não sei se vou convencê-lo, mas seu argumento apresenta uma falha de formulação, o que nos leva a buscar o resultado errado, ou seja, distinto da pergunta inicial. Na prática você introduz uma variável que não existe no problema original.
Antes de partir para essa falha, relato que após reler com mais atenção a página da Wiki, não consegui encontrar a parte que corrobora os 50%-50%, conforme o Sr. afirmou.
Na área “Other Host Behaviors”, ao contrário do que foi afirmado em sua análise, a idealizadora da resposta indicou que o resultado será sempre 1/3 – 2/3, caso o apresentador sempre abra uma porta errada (sem prêmio). Qualquer outro comportamento do apresentador leva a outro problema estatístico.
Nas opções oferecidas, em apenas dois tipos de comportamento a resposta é 50%-50%, e em ambas o apresentador abre a porta randomicamente. Exatamente como eu disse no outro comentário.
Se conseguir extrair do texto (em inglês preferencialmente) a parte em que sua posição (50%-50%) é defendida, peço que poste aqui nos comentários.
Ainda antes de ir ao erro de formulação, insisto que clique no link onde se pode fazer o teste na prática (ver post original).
Se você trocar sempre, ganhará em 2/3 das vezes. Se não trocar nunca, ganhará 1/3 das vezes.
Não se deve discutir contra os fatos. Eles são eloquentes e, caso nossa lógica não consiga explicá-los, é problema da lógica e não dos fatos ou da natureza.
Quanto ao erro de formulação em sua premissa, não é algo simples de ver. Lembra aquelas pegadinhas de Malba Tahan.
O episódio estatístico trabalha com escolher e trocar, escolher e não trocar. Desse ponto de vista, há 18 opções, caso se considere o número das portas (o que é irrelevante), porém apenas 6 são relevantes. Dessas 6, há 50% de chance de ganhar e 50% de perder. Quando entra a segunda variável (trocar, não trocar), há 2 vitórias em trocar, 1 vitória em não trocar.
O seu erro de formulação foi considerar a opção do apresentador como parte do problema. Não é. Não é fácil ver, mas a decisão de abrir a porta 2 ou 3, no caso de ambas não terem prêmio, não entra no espaço amostral. Não é parte do problema.
Eu poderia apenas indicar a leitura, na mesma página da Wiki, da parte “Alternate Derivations”, onde a irrelevância dos números (1,2 e 3) das portas é provada matematicamente, mas não gosto de me esconder atrás de teorias complexas e inacessíveis à maioria das pessoas.
A melhor explicação que posso lhe dar, dentro da lógica, é essa. Sua formulação inclui um parâmetro estatístico que não faz parte do problema. O que faz parte do problema é: o apresentador abre sempre uma porta sem prêmio. Qual delas, é irrelevante na formulação estatística.
Espero, sinceramente, que consiga entender, pois o problema está correto e a probabilidade 1/3-2/3 é uma evidência empírica, ou seja, verificada em testes práticos.
Apesar desse problema ter gerado milhares de controvérsias, ninguém pode duvidar de que o resultado prático é que o sujeito que troca sempre tem 2/3 de chance de vencer. É fato, não é versão ou opinião.
Em novembro os Mythbusters demonstraram esse realidade.
Há centenas de vídeos mostrando na prática o resultado:


Se não for possível convencê-lo, apenas falhei como professor/explicador, mas não estou errado.

Extremamente interessante e totalmente correto o texto. Para os céticos, facilmente comprovável apenas fazendo o teste. De qualquer maneira, se mesmo assim continuar não acreditando. Faça através de cartas de baralho, o resultado não muda… Parabéns, como sempre, Portinho!

A prática o Paradoxo de Monty Hall aumenta a probabilidade baseado na escolha, pois você faz mais escolhas quando troca de porta, não quer dizer que aumente sua probabilidade de acertar, mas quando você vai lá ao programa jogar, é só uma chance que possui, se não ganhar, não poderá jogar novamente, o jogo é feito com varias pessoas que jogaram uma vez e não uma pessoa que jogou varias vezes, então sua chance de acertar continua 50%, neste caso a teoria não te ajuda a tomar uma decisão mais próxima do acerto, a probabilidade foi aplicada no lugar errado, tinha que ser feita no apresentador, pois ele sabe a resposta, todos seus programas tinham que ser analisadas, ele mais ajuda ou atrapalha o participante?, normalmente quando ele costuma mentir?, e por ai vai.

Caro Portinho,

Vi esse problema várias vezes durante a faculdade e nunca concordei com a solução. Quando abrimos o espaço amostral (ótima dica para o pessoal que estudou pouca probabilidade, parabéns) da forma apresentada, o candidato deve fazer as duas escolhas antes da abertura da primeira porta. Mas ele é questionado depois tomando conhecimento do conteúdo de uma das portas, o que o faz ter certeza da não existência do prêmio e portanto não podemos mais falar da probabilidade de existência de prêmio nessa porta. Assim a dúvida dele reside nas duas portas restantes, ou seja, 50% para cada. Caso não houvesse o viés do apresentador, que sempre abrirá uma porta que não contém o prêmio, e a escolha fosse somente no primeiro momento, o cálculo estaria correto.
No mais, parabéns pelo blog. Sempre espero as atualizações.

Esse enigma é apresentado em um dos episódios da Série Numb3rs, não lembro quem qual. Para quem gosta de matemática a série é imperdível.

Caro “Majestade das chips aniladas”,

Sua abordagem não foi a mais feliz, pois se escorou em falsas premissas. No caso, não há falar em novo problema quando o apresentador abre uma das portas (nas suas palavras “o MUNDO MUDA”). O problema continua o mesmo e as probabilidades ficam inalteradas, pois a intervenção do apresentador apenas revela dados ocultos que facilitariam a opção do jogador, caso ele tivesse “preparado” para entender o problema.

Pense: quando o participante escolheu uma das portas, sua probabilidade de ganhar o prêmio bom é de 1/3 e de perder é de 2/3. Quando o apresentador abre uma das portas com o prêmio ruim (porta que estava na porção dos 2/3) e permite que o participante altere a porta escolhida inicialmente, abre a oportunidade de se trocar a probabilidade de acerto inicial de 1/3 pela probabilidade de acerto de 2/3, já que das duas portas restantes, uma já foi revelada. Ou seja, se o prêmio bom estiver na porção dos 2/3, fatalmente o participante escolherá a porta certa.

Muito embora seja um pouco difícil de explicar escrevendo, esse problema é um clássico do curso de estatística e pode ser facilmente solucionado pelo Teorema de Bayes, que trabalha com as probabilidades condicionadas, como já havia dito o Portinho acima.

Por fim, vale dizer que muitos professores utilizam o problema em vedete para demonstrar que nem sempre podemos contar com as habilidades de dedução de nosso cérebro baseado no senso comum, entrementes, vejo que o problema também tem o efeito secundário de demonstrar a ausência de humildade, virtude sempre desejável quando temos a consciência de nossas limitações e de que somos todos aprendizes.

Caro Paulo,
Ótima explicação.
Nosso amigo das Blue Chips já mandou um email gentil dizendo que seu texto acabou ficando muito ríspido. Escrever é muito difícil, nem sempre o texto reflete corretamente nosso estado de espírito.
Abraço,
Portinho

Acabei de conhecer o enigma e achei fantástico. Vou tentar deixar mais claro aos que não entenderam.

A pergunta que devemos responder aqui é, é melhor trocar sempre ou não trocar nunca?
Em cada uma das duas situações temos 3 casos que ocorrem.

Não trocar nunca:

1. Escolhemos a porta certa e ganhamos.
2. Escolhemos a porta errada e perdemos.
3. Escolhemos a porta errada e perdemos.

33.3% de chance de ganhar.

Trocar sempre:

1. Escolhemos a porta certa e ao trocar perdemos.
2. Escolhemos a porta errada e ao trocar ganhamos.
3. Escolhemos a porta errada e ao trocar ganhamos.

66.7% de chance de ganhar.

Não concordo.
Na verdade, desde o primeiro momento você sabe que a sua probabilidade de ganhar é de 50%, pois independentemente da porta que você escolher vai existir pelo menos uma onde não se ganha e o apresentador vai abrir para mostrar que não tem nada. Essa questão da dúvida independe, pois o apresentado vai sempre fazer a mesma pergunta só para ganhar mais tempo e audiência.
Caso você tenha escolhido a porta correta, o apresentador vai eliminar qualquer uma das outras duas. Se você trocar vai perder, se não trocar vai ganhar.
Caso você tenha escolhido a porta errada, o apresentador só poderá eliminar a porta que também não tem nada. Se você trocar vai ganhar, se não trocar vai perder.

Caro Breno,
Sua explicação está quase perfeita, só faltou duplicar a última frase. Veja:
1. Caso você tenha escolhido a porta correta, o apresentador vai eliminar qualquer uma das outras duas. Se você trocar vai perder, se não trocar vai ganhar.
2. Caso você tenha escolhido a porta errada A, o apresentador só poderá eliminar a porta que também não tem nada. Se você trocar vai ganhar, se não trocar vai perder.
3. Caso você tenha escolhido a porta errada B, o apresentador só poderá eliminar a porta que também não tem nada. Se você trocar vai ganhar, se não trocar vai perder.
Percebeu? São duas portas erradas. O que significa que, ao trocar, tenho o dobro de chance.
De qualquer forma o problema está correto. É um clássico da matemática e foi transcrito por mim de forma precisa. Não o inventei, apenas quis dar uma explicação simples para um quebra-cabeças de primeira.

Sempre que o participante escolher uma porta errada o apresentador obrigatoriamente vai ter que eliminar a outra porta errada. Por isso essa teoria dos 33,3% de chances a mais para quem troca sempre cai por terra.
Só faria sentido essa explicação se o apresentador retirasse uma porta aleatoriamente sem ver, podendo ser, inclusive, a porta selecionada pelo participante. Mas, neste caso, a porta escolhida poderia ser a premiada e o participante ficaria sem o prêmio ou até sem a chance de mudar para a porta correta.

Caro Breno,
O resultado não é meu, eu apenas o expliquei. Esse é o famoso “Paradoxo de Monty Hall”, clássico enigma matemático.
Os 33% não são uma teoria, são a resposta exata do problema.
Se não for possível acreditar no meu post, procure “Problema de Monty Hall” na internet que verá centenas de explicações para o mesmo resultado, ou seja, que é melhor trocar.

Posso mudar de opinião?

Você tem toda razão. O problema é que eu tentei analisar qual seria a lógica ideal para o caso (a mais justa), quando, na verdade, tem que se analisar qual é a regra do jogo e aplicar a estatística.

Quando o participante, inicialmente, escolhe uma das três portas ele tem 33,3% de chances de ganhar. Quando o apresentador elimina uma das outras duas portas, necessariamente tem que ser uma porta que não está premiada, isso gera uma desvantagem para o apresentador e garante ao participante uma vantagem de 33,3% sobre a situação inicial caso ele troque de porta, por isso ele, realmente, tem 66,6% de chances de ganhar.

Lição aprendida: a gente não pode querer analisar as situações pelo nosso ponto de vista, mas tentar compreender quais são as normas que as regem.

Desculpas e abraço.

Oi Breno,
Esse problema é bem complicado mesmo. Agradeço a visita e os comentários.
Abraço!
Portinho

Muito interessante Portinho!

Vc deveria incluir no post esta explicação que deu neste comentário (com porta errada A e porta errada B) que fica ainda mais claro.

Abs

OK, Portinho, mas sua conclusão mostra que quem disse que a resposta é SIM, não entendeu o problema.

É o que eu mais vejo por aí: a absoluta falta de capacidade das pessoas de interpretarem eventos estatísticos, e até mesmo de formularem perguntas a partir deles.

Sua abordagem ao problema está ERRADA, veja porque:

Na situação 1, há 3 portas e uma escolha, então, há 33% de chances de ganho e 67% de perda.

Depois que o apresentador abre uma das portas, O MUNDO MUDA!! Então, passamos a um mundo em que existem apenas duas portas, com 50% de chances.

A conceituação matemática seria:

situação 1 : 3 portas, A, B, e C.

Situação 2 Duas portas: 1 e 2.

Portanto, hão há o que se falar se é certo ou errado em mudar a porta. Não se pode comparar as duas situações, porque são distintas. Se a pessoa escolhe NÃO MUDAR, na verdade já fez uma escolha, que é uma das portas que ela já escolhera anteriormente. Vc está confundindo os dois mundos e portanto chega a conclusões erradas.

Caro Rei das Blue chips,
Compreendo que não concorde e que ache que eu estou errado. Como afirmei, o enigma é interessante justamente por ser contra-intuitivo. Esse problema já derrubou cientistas de primeira linha, prêmios Nobel e muita gente inteligente ao longo dos anos.
Mas eu não estou errado. Aliás, nem poderia estar, pois esse problema não é meu. Não fui eu quem o enunciou. Eu só quis dar uma contribuição didática, demonstrando matematicamente que a resposta SIM dá ao jogador o dobro da probabilidade de vitória.
Caso não acredite na resposta analítica, clique no link que coloquei no texto. Ele leva a um programa que calcula empiricamente as probabilidades. Faça uns 20 testes e verá, com clareza, que a probabilidade enunciada está correta.
Caso também não acredite no teste empírico, afinal não estamos vendo a programação, procure na internet “Problema de Monty Hall”. Você verá que esse problema é um clássico dos enigmas matemáticos, circula há anos na comunidade científica, nas salas de aula e em livros de probabilidade.
Esse problema é interessante justamente por não contar com uma explicação de fácil compreensão. Aliás, qualquer explicação em português vai ficar estranha. Tem que usar matemática.
As suas premissas estão imprecisas, pois ao afirmar que o MUNDO MUDA, você leva em consideração que ele muda de forma ALEATÓRIA, porém ele não muda de forma aleatória, pois a porta escolhida pelo apresentador CERTAMENTE não tinha prêmio. Essa nuance traz grandes implicações matemáticas e por isso mesmo o problema fica contra-intuitivo.

Ok, Portinho, desculpe se eu pareci ser agressivo no comentário acima. Agora que li de novo parece que estou xingando, ehehehe.

Mas não foi esse o objetivo. Só queria mostrar minha opinião.

Me inscrevi para receber por email seus novos posts e gosto bastante, parabéns, continue o trabalho.

Tranquilo. Sem problemas. Às vezes o texto sai diferente do que queremos, acontece muito. Fico feliz que esteja inscrito no blog. Seja bem vindo!


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    O Autor espera que os temas educacionais do blog possam ajudar no desenvolvimento e no entendimento das nuances do mercado de ações, mas reitera que a responsabilidade pela decisão de investimento é sempre do próprio investidor.

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  • Paulo Portinho

    PAULO PORTINHO, engenheiro com mestrado em administração de empresas pela PUC-Rio, é autor do Manual Técnico sobre o Método INI de Investimento em Ações, do livro "O Mercado de Ações em 25 Episódios" e do livro "Quanto Custa Ficar Rico?", os dois últimos pela editora Campus Elsevier.

    Paulo atuou como professor na Pós-graduação de Gestão Social da Universidade Castelo Branco e na Pós-graduação oferecida pela ANBIMA de Capacitação para o Mercado Financeiro.

    Atuou como professor da área de finanças e marketing na Universidade Castelo Branco e no curso de formação de agentes autônomos do SINDICOR.

    Como executivo do Instituto Nacional de Investidores - INI (www.ini.org.br) entre 2003 e 2012, ministrou mais de 500 palestras e cursos sobre o mercado de ações, sendo responsável pelo desenvolvimento do curso sobre o Método INI de Investimento em Ações, conteúdo que havia chegado a mais de 15.000 investidores em todo o país, até o ano de 2012.

    Representou o INI nas reuniões conjuntas de conselho da Federação Mundial de Investidores (www.wfic.org) e da Euroshareholders (www.euroshareholders.org), organizações que congregam quase 1 milhão de investidores em 22 países.

    Atuou como articulista do Informativo do INI, do Blog do INI, da revista Razão de Investir, da revista Investmais, do Jornal Corporativo e do site acionista.com.br. Foi fonte regular para assuntos de educação financeira de veículos como Conta Corrente (Globo News), Infomoney, Programa Sem Censura, Folha de São Paulo, Jornal O Globo, entre outros.

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